Tin tổng hợp

Số phức nghịch đảo là gì? Lý thuyết và bài tập vận dụng – VUIHOC

Số phức nghịch đảo là một phần kiến thức và kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và tiếp tục Open trong những đề thi. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ giúp những em tổng hợp lý thuyết, công thức số phức nghịch đảo cùng những bài tập vận dụng để từ đó ôn tập thật hiệu suất cao nhé !

1. Số phức nghịch đảo là gì?

Định nghĩa số phức nghịch đảo

Trước khi tìm hiểu và khám phá về số phức nghịch đảo, tất cả chúng ta hãy cùng ôn lại khái niệm số phức .

  • Số phức là biểu thức có dạng $z=a+bi$, trong đó $a,b$ là các số nguyên; $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo. Quy ước: $i^{2}=-1$.

  • Số phức nghịch đảo, hay còn được gọi là nghịch đảo của số phức, ký hiệu z-1 là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo và số phức có hiệu quả bằng 1 : USD z ^ { – 1 }. z = 1 USD

2. Lý thuyết số phức nghịch đảo

Chúng ta trọn vẹn hoàn toàn có thể chứng tỏ được :
USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { \ left | z \ right | ^ { 2 } }. \ bar { z } = \ frac { 1 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } ( a-bi ) USD
Suy ra : USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } ( a-bi ) ( a + bi ) = \ frac { a ^ { 2 } – b ^ { 2 } i ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 1 USD

  • Số phức nghịch đảo của USD z = a + bi USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { a + bi } $
  • Số nghịch đảo của USD z = a + bi ( z \ neq 0 ) USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { z } = \ frac { \ bar { z } } { \ left | z \ right | ^ { 2 } } $
Xem thêm  Dừa sáp – Wikipedia tiếng Việt

3. Một số bài tập tìm số phức nghịch đảo và lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của số phức sau: z=3+4i?

Lời giải :
Số phức nghịch đảo của USD z = 3 + 4 i USD là :
USD z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { 3 + 4 i } = \ frac { 3-4 i } { 3 ^ { 2 } – ( 4 i ) ^ { 2 } } = \ frac { 3-4 i } { 9 + 16 } = \ frac { 3 } { 25 } – \ frac { 4 } { 25 } i USD
Vậy số phức nghịch đảo của số phức USD z = 3 + 4 i USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 3 } { 25 } – \ frac { 4 } { 25 } i USD

Bài 2: Số phức nghịch đảo của $z=2-2i$ là:

  1. USD – \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD
  2. USD \ frac { 1 } { 4 } – \ frac { 1 } { 4 } i USD
  3. USD \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD
  4. USD – \ frac { 1 } { 4 } – \ frac { 1 } { 4 } i USD

Lời giải : USD z = 2-2 i \ Rightarrow z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { 2-2 i } = \ frac { 1 + i } { 2 ( 1 – i ) ( 1 + i ) } = \ frac { 1 + i } { 2 ( 1 – i ^ { 2 } ) } = \ frac { 1 + i } { 2.2 } = \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD
Đáp án cần chọn : C. $ \ frac { 1 } { 4 } + \ frac { 1 } { 4 } i USD

Bài 3: Hãy tìm số nghịch đảo của số phức $z=10+8i$? 

Lời giải :
USD z = 10 + 8 i \ Rightarrow z ^ { – 1 } = \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { 10 + 8 i } = \ frac { 10-8 i } { ( 10-8 i ) ( 10 + 8 i ) } = \ frac { 10-8 i } { 10 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = \ frac { 10-8 i } { 164 } $
USD \ Rightarrow z ^ { – 1 } = \ frac { 5 } { 82 } – \ frac { 2 } { 41 } i USD
Vậy số phức nghịch đảo của USD z = 10 + 8 i USD là USD z ^ { – 1 } = \ frac { 5 } { 82 } – \ frac { 2 } { 41 } i USD

Bài 4: Đáp án nào dưới đây là số phức nghịch đảo của $z=1+3i$:

  1. USD \ frac { 1 } { 10 } ( 1-3 i ) USD
  2. USD 1-3 i USD
  3. USD \ frac { 1 } { \ sqrt { 10 } } ( 1 + 3 i ) USD
  4. USD \ frac { 1 } { 10 } ( 1 + 3 i ) USD

Lời giải :
USD z = 1 + 3 i \ Rightarrow \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { 1 + 3 i } = \ frac { 1-3 i } { 1 ^ { 2 } – ( 3 i ) ^ { 2 } } = \ frac { 1-3 i } { 10 } = \ frac { 1 } { 10 } ( 1-3 i ) USD
Đáp án cần chọn : A. $ \ frac { 1 } { 10 } ( 1-3 i ) USD

Bài 5: Số phức nghịch đảo của số phức $z=\sqrt{2}-3i$ là đáp án nào dưới đây:

Xem thêm  Số seri sổ đỏ là gì? Cách tra cứu thông tin sổ đỏ hữu ích?

Xem thêm: Các loại gia vị ở Nhật

  1. USD \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } + \ frac { 3 } { 11 } i USD
  2. USD \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } – \ frac { 3 } { 11 } i USD
  3. USD \ frac { 3 } { 11 } + \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } i USD
  4. USD \ frac { 3 } { 11 } – \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } i USD

Lời giải :
USD z = \ sqrt { 2 } – 3 i \ Rightarrow \ frac { 1 } { z } = \ frac { 1 } { \ sqrt { 2 } – 3 i } = \ frac { \ sqrt { 2 } + 3 i } { 2-9 i ^ { 2 } } = \ frac { \ sqrt { 2 } + 3 i } { 11 } = \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } + \ frac { 3 } { 11 } i USD
Đáp án cần chọn : A. $ \ frac { \ sqrt { 2 } } { 11 } + \ frac { 3 } { 11 } i USD

4. Hướng dẫn cách giải số phức nghịch đảo bằng máy tính cầm tay Casio

Để tiết kiệm ngân sách và chi phí thời hạn làm bài, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể giải những bài toán tương quan đến số nghịch đảo của số phức bằng cách sử dụng máy tính cầm tay Casio :

Ví dụ: Tìm số nghịch đảo của số phức sau:  

a, $ \ sqrt { 2 } – i \ sqrt { 3 } $
b, $ \ frac { 1 – i \ sqrt { 3 } } { 7 + 2 i } $
c, USD 5 + i \ sqrt { 3 } $
d, USD i USD
e, USD 1 + 2 i USD
Hướng dẫn :

Hướng dẫn giải bài toán tìm số phức nghịch đảo

Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo những bước sau :

Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức

Bước 2: Nhập  $(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}$ hoặc $\frac{1}{(\sqrt{2}-i\sqrt{3})^{-1}}$, bấm phím = ta được kết quả $\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}i$

Bước 3: Ghi kết quả nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của $ \ sqrt { 2 } – i \ sqrt { 3 } $ là $ \ frac { \ sqrt { 2 } } { 5 } + \ frac { \ sqrt { 3 } } { 5 } i USD
b, Thực hiện tựa như ta được hiệu quả : Số phức nghịch đảo của $ \ frac { 1 – i \ sqrt { 3 } } { 7 + 2 i } $ là $ \ frac { 7-2 \ sqrt { 3 } } { 4 } + \ frac { 2 + 7 \ sqrt { 3 } } { 4 } i. $
c, Thực hiện giải bài toán trên bằng máy tính cầm tay Casio theo những bước sau :

Bước 1: Bấm MODE 2 để chọn chương trình tính toán số phức

Xem thêm  Cái tai trong tiếng Anh là gì

Bước 2: Nhập $5+i\sqrt{3}$ hoặc $\frac{1}{5+i\sqrt{3}}$, bấm phím “=” ta được kết quả:

USD \ frac { 5 } { 28 } – \ frac { 3 } { 28 } i USD

Bước 3: Ghi kết quả nhận được

Vậy số phức nghịch đảo của USD 5 + i \ sqrt { 3 } $ là $ \ frac { 5 } { 28 } – \ frac { 3 } { 28 } i USD
d. Thực hiện tựa như ta được tác dụng : Số phức nghịch đảo của USD i USD là USD – i. $
e. Thực hiện tương tự như ta được hiệu quả : Số phức nghịch đảo của USD 1 + 2 i USD là $ \ frac { 1 } { 5 } – \ frac { 2 } { 5 } i USD

Giải bài toán tìm số phức nghịch đảo bằng máy tính cầm tay

Để hiểu nhiều hơn về các dạng bài tập số phức đặc biệt là số phức nghịch đảo, các em đừng bỏ qua bài giảng vô cùng hấp dẫn và thú vị sau đây của thầy Thành Đức Trung. Chắc chắn trong bài giảng sẽ có những tips giải bài số phức, phương pháp bấm máy số phức cực hay và bổ ích đó!

Trên đây là tổng hợp khái niệm, định lý số phức nghịch đảo cùng những bài tập và hướng dẫn giải cụ thể. Hy vọng những em đã có được nguồn tìm hiểu thêm hữu dụng và hoàn toàn có thể vận dụng để làm những bài kiểm tra. Hãy truy vấn Vuihoc. vn và ĐK thông tin tài khoản để học thêm nhiều dạng bài tập và ôn thi THPT Quốc Gia nhé !

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Tin tổng hợp

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button